Подробное описание документа

Шипов Н. В., Полещук О. М., Шмаков А. В.
   Дополнительные свойства интеграла в смысле главного значения и вариант сведения интеграла Лебега-Стилтьеса к интегралу Римана-Стилтьеса / Шипов Н. В., Полещук О. М., Шмаков А. В. // Лесной вестник. - 2016. - Т. 20, № 4. - С. 88-93.

Скачать документ

Полнотекстовый документ

Найдена в явном виде альтернативная формула представления функционала – обобщенной функции P (1/ x) (и всех его производных) в пространстве обобщенных функций медленного роста. Наиболее широким классом производящих функций для меры множеств в интеграле Лебега-Стилтьеса, а также производящих функций в интеграле Римана-Стилтьеса, является множество функций с ограниченной вариацией. Функции с ограниченной вариацией представляются, как известно, в виде разности двух монотонных неубывающих функций. Каждая из этих двух монотонных неубывающих функций является в общем случае разрывной функцией (разрывной как слева, так и справа). Для целей изложения свойств меры Лебега-Стилтьеса и соответствующих свойств интеграла Лебега-Стилтьеса удобно считать, что монотонная производящая функция является непрерывной слева (или непрерывной только справа). При использовании интеграла Лебега-Стилтьеса в ряде случаев предлагается переопределить, в случае необходимости, каждую из двух монотонных неубывающих функций так, чтобы они стали непрерывными слева, что снижает общность изложения и применения. Разрывная производящая функция с ограниченным изменением представлена на отрезке в виде суммы непрерывной функции с ограниченным изменением, непрерывной слева функции скачков и непрерывной справа функции скачков. Обусловленная этими тремя функциями мера Лебега-Стилтьеса множества, а также соответствующий интеграл Лебега-Стилтьеса для разрывной (как справа, так и слева) производящей функции представлены в виде суммы трех слагаемых, каждое из которых определяется одной из указанных выше функций. Исходный интеграл Лебега-Стилтьеса оказывается независящим от значений производящей функции в точках разрыва. В методическом плане проиллюстрировано, что из полученных разложений непосредственно следует, что если подынтегральная функция непрерывна на отрезке [ a , b ], то интеграл Лебега-Стилтьеса по отрезку [ a , b ] совпадает с соответствующим интегралом Римана-Стилтьеса по отрезку [ a , b ]. Ранее этот факт был доказан на полуинтервале [ a , b) для непрерывной слева производящей функции.